Metoda konečných prvků v aplikacích (MKPA)

kód předmětu: 20111069

 
Přednášející:

Doc. RNDr. Petr Sváček, PhD.
Ústav technické matematiky, FS ČVUT v Praze,
Karlovo nám. 13, 121 35 Praha 2
místnost D201, Petr.Svacek (at) fs.cvut.cz

Aktuálně

Přednáška dle rozvrhu v KOSu. Podrobné informace ZDE

Plán předmětu

  1. Základní princip MKP a její použití na jednorozměrné úloze, klasické a slabé řešení, diskrétní problém, volba prostoru konečných prvků a volba báze. Matice tuhosti, její vlasnosti. Odhad chyby.
  2. Ukázka použití MKP pro dvourozměrnou eliptickou úlohu, Dirichletova úloha. Slabá formulace, diskrétní problém a volba prostoru metody konečných prvků. Řešení na čtvercové oblasti a triangulaci pomocí lineárních konečných prvků. Sestavení matice tuhosti. Modifikace pro případ různých okrajových podmínek.
  3. Ukázka použití MKP pro dvourozměrnou eliptickou úlohu na obecné omezené oblasti. Slabá formulace, diskrétní problém a volba prostoru metody konečných prvků – lineární prvky. Volba prostoru konečných prvků, přípustná triangulace, volba báze.
  4. Koncept referenčního prvku, jeho užití pro výpočet prvků matice tuhosti – transformace integrálu a derivací. Numerická kvadratura. Konečný prvek v obecné formulaci jako trojice (K, Sigma, P). Příklady referenčních prvků ve 2D a 3D. Geometrický prvek, stupně volnosti na daném prvku a volba prostoru funkcí. Různé geometrické prvky (1D, 2D, 3D), prvky vyššího řádu.
  5. Abstraktní variační formulace. Ritzova a Galerkinova formulace. Věta o ekvivalenci řešení Ritzovy a Galerkinovy formulace. Existence a jednoznačnost slabého řešení. Ritzova a Galerkinova aproximace problému (existence řešení, vlastnosti matice tuhosti). Abstraktní odhad chyby.
  6. Matematická nástroje MKP: Prostory funkcí. Lineární a bilineární forma. Lax-Milgramova věta. Greenova věta. Věta o substituci. Existence a jednoznačnost řešení. Existence diskrétního řešení, vlastnosti matice tuhosti. Odhad chyby pro prostory konečných prvků. Odhad chyby v L2 normě.
  7. Řešení diskrétní úlohy – soustava lineárních rovnic. Přímé metody.
    Iterační metody. Gradientní metody. Předpodmiňování.

  8. Použití MKP pro parabolickou rovnici. Slabá formulace rovnice vedení tepla.
    Řešení semidiskrétní úlohy pomocí vlastních čísel matice.

  9. MKP pro hyperbolické rovnice, slabá formulace vlnové rovnice, převod na homogenní systém obyč. dif. rovnic 2. řádu. Přechod na problém vlastních čísel pro soustavy lin. alg. rovnic.
  10. Použití MKP v úlohách lineární pružnosti. Stacionární úloha.
    Řešení nestacionární úlohy pomocí vlastních čísel matice.

  11. MKP pro konvekci-difuzi, slabá formulace.
    Vlastnosti diskrétní úlohy. Upwind.

  12. Stokesův problém. Variační formulace.
    Podmínka stability. Navierovy-Stokesovy rovnice. Variační formulace, MKP.

Materiály k předmětu

Více viz stránky k předmětu.